线性规划求解的基本知识

线性规划模型由3个基本部分组成：

• 决策变量（variable）
• 目标函数（objective）
• 约束条件（constraint）

示例：营养配方问题

（问题）某农场每天至少使用800磅特殊饲料。这种特殊饲料由玉米和大豆粉配制而成，含有以下成份：

 

特殊饲料的营养要求是至少30%的蛋白质和至多5%的纤维。该农场希望确定每天最小成本的饲料配制。
（解答过程）
因为饲料由玉米和大豆粉配制而成，所以模型的决策变量定义为：

x1=每天混合饲料中玉米的重量（磅）
x2=每天混合饲料中大豆粉的重量（磅）

目标函数是使配制这种饲料的每天总成本最小，因此表示为：

min z=0.3×1+0.9×2

模型的约束条件是饲料的日需求量和对营养成份的需求量，具体表示为：

x1+x2≥800
0.09×1+0.6×2≥0.3(x1+x2)
0.02×1+0.06×2≤0.05(x1+x2)

将上述不等式化简后，完整的模型为：

min z=0.3×1+0.9×2
s.t. x1+x2≥800
0.21×1-0.3×2≤0
0.03×1-0.01×2≥0
x1,x2≥0

可以使用图解法确定最优解。下面，我们介绍使用Excel的规划求解加载项求解该模型。

 

使用Excel规划求解解线性规划问题 

1、 安装Excel规划求解加载项

单击“Office按钮——Excel选项——加载项——（Excel加载项）转到”，出现“加载宏”对话框，如下图所示。选择“规划求解加载项”，单击“确定”。

此时，在“数据”选项卡中出现带有“规划求解”按钮的“分析”组，如下图所示。

 

2、 设计电子表格

使用Excel求解线性规划问题时，电子表格是输入和输出的载体，因此设计良好的电子表格，更加易于阅读。本例的电子表格设计如下图所示：

 
其中，输入数据的单元格使用了阴影格式，即B5:C8和F6:F8；变量和目标函数单元格为B12:D12，加上了粗线边框；D5:D8中输入了约束公式，公式如上图中的右上角所示，其相应的代数表达式见上文。
技巧：也可以在单元格D5中输入公式：

=SUMPRODUCT(B5:C5,$B$12:$C$12)

然后将其复制到下方相应的单元格中。

 

3、 应用规划求解工具

单击“数据——分析——规划求解”，出现如下图所示的“规划求解参数”对话框，设计相应的参数。

 

并且单击“添加”按钮，添加相应的约束，如下图所示。

 

 

注意，上图所示的约束中，添加了非负限制，即$B$12:$C$12>=0。还可以在“规划求解参数”对话框中，单击“选项”按钮，在出现的“规划 求解选项”对话框中（如下图所示）添加非负约束，即选择“采用线性模型”和“假定非负”前的复选框，其余的默认值可以保持不变。当然，如果精度太高，可以 调低精度，也获得满意的结果。

 

4、 求解

设置好参数后，单击“规划求解参数”对话框中的“求解”按钮，结果如下图所示。

 

为了增强可读性，还可以使用有描述性的Excel名称来代替单元格字母。
如果问题没有可行解，规划求解将会显示明确的信息“规划求解找不到有用的解”。如果最优目标值是*的，规划求解将会显示不太明确的信息“设置目标单元格的值未收敛”。这些情况都表明模型构造的公式有错误。
当然，规划求解工具还可以得出更详细的报告，这些功能我们在以后讨论。